Ejemplo

Los márgenes superior e inferior de un cartel miden 6cm cada uno, y los márgenes laterales miden 4cm cada uno. Si el área del material impreso en el cartel se fija en 384cm², determine las dimensiones del cartel que tenga la mínima área.

.

Solución

Primero vamos a establecer nuestra función objetivo, esto es la función que se quiere optimizar (maximizar o minimizar). En este ejemplo tal función corresponde con la mínima área del cartel. Considere la siguiente figura:

Fig 3. Imagen del cartel de ejemplo.

Función Objetivo

Área del Cartel = 

Donde  corresponde con la medida en centímetros del alto del cartel, y  con la medida en centímetros del ancho del cartel.

Ahora debemos reescribir la función objetivo de modo que corresponda con una función en una variable, para ello vamos a utilizar una ecuación auxiliar, ésta es usualmente una condición (o restricción) del problema.

Ecuación auxiliar:

Área impresa = 384 cm²

De acuerdo con nuestro dibujo tal ecuación se escribe .

Despejando  tenemos , este resultado nos permite escribir la función del área del cartel como sigue:

Calculamos ahora su primera derivada, para luego calcular sus valores críticos

Note que la función primera derivada se indene cuando , pero este valor no esta en el domino de la función , de hecho tal medida no tiene sentido para el cartel. Por esta última razón también descartamos al valor . Así que nos queda solo  por llevar al criterio de la segunda derivada. En un problema siempre debemos tener presente su propia naturaleza, esto es el problema "del mundo real" que modelamos.

Calculamos , para luego evaluarla en

De la última línea tenemos que en  la función  logra un mínimo relativo. Si la ecuación auxiliar indica que . Por lo tanto las medidas del cartel son 36cm de alto y 24cm de ancho.

Del proceso anterior debemos resaltar:

1. Determinar la función por optimizar en una sola variable. Si hay mas de una variable buscar las condiciones que permite reescribirla.
2. Hallar los valores críticos, para ello se requiere de calcular la primera derivada y buscar donde se anula o indefine. Se debe tener presente las particularidades del problema.
3. Calcular la segunda derivada y evaluar allí los puntos críticos seleccionados, el criterio de la segunda derivada nos permitirá conocer la naturaleza del extremo.
4. Dar una respuesta acorde a lo que se pregunta.