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Ejemplo 2

Determine la ecuación de las rectas tangentes a la curva y=x a la 2 + x, y que pasan por el punto (2,-3).

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Solución

En este caso el punto no pertenece a la curva, esto lo sabemos pues al evaluar y(2)=2 a la 2 + 2 =6 diferente de 3. Así que debemos determinar los puntos de la curva que corresponden con los puntos de tangencia de las rectas.

Sea (w,y(w)) uno de los puntos de tangencia buscados entonces, la pendiente de la recta tangente en (w,y(w)) está dada por:

y apóstrofe (x)=2x+1 flecha y apóstrofe (w)=2w+1=m

Por otro lado la pendiente de la recta que pasa por (2,-3) y (w,y(w)) se calcula mediante el cociente

y(w)-(-3)/w-2=w a la 2 +w+3/w-2

Ahora igualamos los resultados que tenemos para m, pues una recta mantiene la misma pendiente a todo su largo.

w a la 2 - 4w-5=0

De esta última ecuación tenemos dos soluciones w=-1 y w=5.

Esto significa que hay dos puntos de tangencia, veamos la situación gráficamente:

Gráfica que muestra dos puntos de tangencia

Fig 1. Gráfica que muestra dos puntos de tangencia.

    

Con w=-1el punto de tangencia es (-1,y(-1))=(-1,0) .

La pendiente de la recta tangente es m=2(-1)+1=-1; mientras que b=-3-(-1)(2)=-1.

Con w=5 el punto de tangencia es (5,y(5))=(5,30). La pendiente de la recta tangente es m=2(5)+1=11; mientras que b=-3-(11)(2)=-25.

Así las ecuaciones pedidas son y=-x-1 y y=11x-25.