Reducing the two dimensional Green functions: Fourier mode decomposition - (:unkn) unknown (Editorial Tecnológica de Costa Rica (entidad editora), 2026)
Reduciendo las funciones de Green bidimensionales: Descomposición en modos de Fourier
Often we encounter high dimensional differential equations. A clever representation of a generalized solution could be procured in certain cases using Green functions. We show how this representation could be achieved and via a clever Fourier mode decomposition for the particular disc case resulting in a highly correlated set of functions that transforming into a discrete representation – via a classical second order finite difference approximation – can be ultimately represented as a linear equation for matrices embedding all boundary conditions in the structure of such objects. The resulting problem could be solved using stochastic gradient descent with an additional on-the-fly optimization reducing required computation resources substantially.
Comúnmente encontramos ecuaciones diferenciales en espacios de alta dimensionalidad. Una representación útil de la solución generalizada puede ser expresada en ciertos casos usando funciones de Green. Se muestra como esta representación se puede lograr por medio de una descomposición en modos de Fourier para el caso particular de un disco dando origen a un conjunto altamente correlacionado de funciones que transformando a una representación discreta – a través de una típica aproximación de segundo grado por métodos finitos – puede ser representado como una ecuación lineal para matrices que contienen las condiciones iniciales de tales objetos. El problema resultante se puede resolver por medio del método de Gradient Descent estocástico cuyos componentes se calculan sobre la marcha para optimizar el uso de recursos computacionales.
Keywords: Green functions; Fourier mode decomposition; discrete representation; stochastic gradient descent; Funciones de Green; descomposición en modos de Fourier; representación discreta; Gradient Descent estocástico