Continuity of functions based on rearrangements of a beta-expansion of a number: Continuidad de funciones basadas en reordenamientos de beta-expansiones de un número - (:unkn) unknown (Instituto Tecnológico de Costa Rica, 2021)
Continuidad de funciones basadas en reordenamientos de beta-expansiones de un número: Continuity of functions based on rearrangements of a -expansion of a number
The functions given by rearrangements of -expansions of a number are usually presented as examples of random variables in probability theory, however, an in-depth study of this type of functions is not carried out nor is a rigorous demonstration that they are indeed random variables. In this work it is proved a proof of the original result that these types of functions are continuous almost everywhere, and so they are random variables. In addition, it is presented original and direct proofs of the most known properties of -expansions in [0,1]; for example: conditions for that a number has unique -expansion, and it is proved that if two number, with unique -expansion, are close enough, then their -expansions match up to a certain index. Finally, an original proof is presented of the points of continuity of functions given by strictly increasing rearrangements.
Las funciones dadas por reordenaciones de -expansiones de un número suelen ser presentadas como ejemplos de variables aleatorias en la teoría de la probabilidad, sin embargo, no se realiza un estudio a profundidad de este tipo de funciones ni se suele presentar una demostración rigurosa de que, en efecto, son variables aleatorias. En el presente trabajo, se da una demostración del resultado original de que este tipo de funciones son continuas en casi todas partes, de lo cual se deduce que son variables aleatorias. Además, se presentan demostraciones originales y directas de algunas propiedades conocidas de las -expansiones de los números entre 0 y 1; entre estas, se establece condiciones para que un número tenga -expansión única y también se prueba que si dos números tienen -expansión única y son suficientemente cercanos, entonces sus -expansiones coinciden hasta cierto índice. Finalmente, se presenta una caracterización original sobre los puntos de continuidad de funciones dadas por reordenaciones estrictamente crecientes.