On the infinity of Germain’s extended prime numbers: a novel approach: Sobre la infinitud de los primos extendidos de Germain: un nuevo enfoque - (:unkn) unknown (Instituto Tecnológico de Costa Rica, 2023)
Sobre la infinitud de los primos extendidos de Germain: un nuevo enfoque: On the infinity of Germain’s extended prime numbers: a novel approach
The conjecture about the infinity of Germain primes, that is, those that “if p is prime, 2p+1 is also prime“, is treated in this work following a novel approach. We first observe that there is an infinite number of primes p that are not Germain primes. Therefore, if the number of Germain primes is infinite, there is no bijection with all primes. However, in this work it is shown that by making an extension to Germain’s definition, this bijection is obtained. To achieve this, the definition of ”2p+1” is extended to “kp + (k - 1), with k ≥ 2”, which will be defined as extended Germain primes. This allows us to pose, among others, the conjecture that there is an infinite number of extended Germain primes and their bijection to the infinite set of prime numbers. The last conjecture states that, in the form kp + (k - 1), no prime p falls outside the category of being a Germain prime.
La conjetura sobre la infinitud de los primos de Germain, es decir, aquellos que “si p es primo, 2p + 1 también es primo“, se trata en este trabajo siguiendo un enfoque novedoso. Primero se observa que hay un número infinito de números p que no son primos de Germain. Por lo tanto, si la cantidad de primos de Germain es infinita, no hay una biyección con todos los números primos. Sin embargo, en este trabajo se muestra que haciendo una extensión a la definición de Germain, si se obtiene esa biyección. Para lograrlo, se extiende la definición de ”2p + 1” a “kp + (k - 1), con k ≥ 2”, los cuales serán definidos como primos extendidos de Germain. Eso nos permite plantear, entre otras, la conjetura de que existe un número infinito de primos extendidos de Germain y su biyección al conjunto infinito de los números primos. La última conjetura plantea que, en la forma kp + (k - 1), ningún primo p queda fuera de la categoría de ser primo de Germain.