Rotations and quaternions: The easy and convenient way: Rotaciones y cuaterniones (sin secretos) - (:unkn) unknown (Instituto Tecnológico de Costa Rica, 2026)
Rotaciones y cuaterniones (sin secretos): Rotations and quaternions: The easy and convenient way
There is a lot of scattered literature on quaternions and rotations that is oriented to practical applications but not so much to develop the intuition and mathematics behind the formulas. In this paper we start from the common basic knowledge of Linear Algebra courses2 and introduce quaternions and their application in rotations, following a natural, theoretical, practical and intuitive flow. The set of quaternions, denoted H, is a vector space isomorphic to R4 and a multiplication is defined which gives it a non-commutative field structure. Multiplication by a unitary quaternion applies a rotation in two planes, in a simultaneous manner, in a similar way as multiplication by a unitary complex number applies a rotation. To use this fact in rotations in R3, we choose a suitable orthonormal basis of H (this gives us two planes), such that in one plane the axis of rotation is fixed (i.e., no rotation) and in the other plane the desired rotation is applied.
Hay mucha literatura dispersa sobre cuaterniones y rotaciones que está orientada a aplicaciones prácticas pero no tanto a desarrollar la intuición y las matemáticas que hay detrás de las fórmulas. En este artículo partimos de los conocimientos básicos comunes de los cursos de Algebra Lineal 1 y se introducen los cuaterniones y su aplicación en rotaciones, siguiendo un flujo natural, teórico, práctico e intuitivo. El conjunto de cuaterniones, denotado H, es un espacio vectorial isomorfo a R4 y se define una multiplicación que le da estructura de campo no conmutativo. La multiplicación por un cuaternión unitario aplica una rotación en dos planos, de manera simultánea, de una manera similar a como la multiplicación por un número complejo unitario aplica una rotación. Para usar este hecho en rotaciones en R3, escogemos una base ortonormal de H adecuada (esto nos da dos planos), de tal manera que en un plano se fije el eje de rotación (es decir, no hay rotación) y en el otro plano se aplique la rotación deseada.