Fractales

Abstract

Esta obra está dirigida, principalmente, a estudiantes de Matemática y de Computación, sin embargo, está dirigida también a todas aquellas personas que encuentran en lasmatemáticas el lenguaje universal con el cual se pueden explicar los fenómenos en nuestro entorno y, por supuesto, a todos los que ven en ella una puerta que los llevará hacia la búsqueda del conocimiento orientado al desarrollo científico y tecnológico. Se pretende introducir, con un nivel intermedio, el tema de los fractales. Nos interesa rescatar su desarrollo matemático: topología, teoría de la medida y geometría, sin olvidar la parte visual y las hermosas imágenes generadas por computadora que tienen estos conjuntos. Los fractales constituyen un tema matemático de actualidad y se han convertido en algo muy popular en los últimos años. Las figuras fractales se obtienen de repetir una y otra vez el mismo procedimiento, en forma recursiva o bien iterada, típicamente un fractal es algo irregular, pero lo más importante es que si lo ampliamos arbitrariamente, él aún sigue irregular. Para nosotros, los fractales serán en general figuras geométricas que se caracterizan por su autosemejanza sin embargo existen otros, como la frontera del conjunto deMandelbrot, que son fractales no autosemejantes. Son estructuras infinitas contenidas en una superficie finita y resultan de utilidad en el análisis de una gran diversidad de fenómenos como turbulencias, bolsa de valores, dispersión del humo, etc., además de sintetizar imágenes como montañas, nubes, costas rocosas, ríos y plantas entre otras. En el Capítulo 1 se introducen los sistemas iterados de funciones y se muestran algunos ejemplos de sus atractores como el conjunto de Cantor, el triángulo de Sierpi ´nski y el dragón de Heighway y se define la dimensión de semejanza. También formaliza propiedades de estos conjuntos y detalles importantes. En el Capítulo 2 se representan números complejos usando bases complejas, se discute sobre “buenas" bases y “malas" bases. Se obtienen las figuras de conjuntos de fracciones de números representables en estas bases y se describen propiedades topológicas de ellos. En el Capítulo 3 se define las dimensiones topológica y Hausdorff, cuando la dimensión topológica esmenor se define un fractal en el sentido original deMandelbrot. Se trabaja con ejemplos de cómo calcular las dimensiones involucradas. Se exhiben otros tipos de dimensión fractal y se notan las similitudes que hay entre ellas. En el Capítulo 4 se presentan algunas aplicaciones interesantes, como son la compresión de imágenes, los dilemas espaciales de evolución, así como el crecimiento fractal y el modelo D.L.A. En el Apéndice A se presentan algunos de los programas computacionales que se han utilizado para implementar los algoritmos dados y generar las figuras o gráficos que se presentan. Finalmente, la bibliografía es extensa y los libros, artículos así como los dominios en internet que se incluyen, le puede servir a los lectores para profundizar en los temas aquí tratados.